5月16日，申国桢教授作了题为《康托定理在ZF中的推广》的报告。

　　在ZF公理系统中，我们可以证明Cantor定理：对于任意的集合，不存在从它到它的幂集的满射（双射）。Cantor定理能否在ZF中取到更一般的形式？特别地，选择公理对于哪些推广是不可或缺的？申国祯老师用生动充实的报告向大家展现了这一领域的研究进展。

　　报告开始时，申老师详细介绍了有关Cantor定理的背景知识、Cantor定理的叙述及其证明（特别地，他给出了证明方法的一种直观解释）、选择公理的叙述以及从选择公理到良序定理的证明。

　　随后，申老师介绍了Sierpinski’s Program，其纲领是研究选择公理（及其特定版本）在数学证明中所起的作用。据此，对每个数学定理，我们都可尝试将其归入三个递进层次中的某一层：证明中用到了选择公理；证明中选择公理（的特定版本）的使用是充分的；证明中选择公理（的特定版本）的使用是不仅充分而且必要的。在这一语境下，申老师介绍了Hessenberg（1906）的工作：假设选择公理成立，那么对任意无穷集合A，有A×A与A等势。而Tarski（1924）指出，它的逆命题也是对的。另外，对于Partition Principle（如果存在从B到A的满射，那么存在从A到B的单射），我们已知它被选择公理蕴涵，但反方向是否成立则仍是一个开问题。

　　在此基础上，申老师梳理了Cantor定理在ZF中推广的有关成果。其中，申老师着重讲述了Specker（1954）的工作：对于任意无穷集合A，不存在从A的幂集P(A)到A×A的单射。通过使用序数的正则表示，我们可以将Cantor配对函数推广为从(ω^δ)×(ω^δ)到ω^δ的双射（其中δ为任意序数）。通过序数的带余除法，我们可以进一步得到α×α与α之间的双射（其中α为任意序数）。于是，对于任何至少含有5个元素的集合A，都不存在从P(A)到A×A的单射。否则，我们可以使用超穷归纳定义一个从序数全体到集合A的单射，从而得到矛盾。申老师幽默地指出，这个证明实际上只是将Cantor对角线法使用了超穷次。

　　最后，申老师简要介绍了自己在这个领域所取得的一些突破。他特意提到，对这一方向感兴趣的同学可以参考他的集合论课件。本次报告在活跃的问答环节后圆满结束。

——龚霖振