Although expected utility theory has proven a fruitful and elegant theory in the finite realm, attempt to generalize it to include infinite utilities and infinite state spaces have resulted in many paradoxes. Nevertheless, some of the most venerable decision problems such as the St. Petersburg Game and Pascal’s Wager employ exactly these things. In this paper, we argue that the use of John Conway’s surreal numbers shall provide a firm mathematical foundation for transfinite decision theory. To that end, we prove a surreal representation theorem, show that surreal decision theory respects dominance reasoning even in the infinite case, and bring our new resources to bear on one of the most puzzling and oft-discussed problems in the literature: Hajek and Nover’s Pasadena Game. We show how to use the “surreal toolbox” to capture our rational preferences among the Pasadena Game and its nearby problems.
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Wang Yanjing Q: 我们给出的是否是良定义？是否会有其他的不是空集的数的集合可以构造出其他的奇怪的数？
Chen A: 这是自然的递归定义，应该是良定义。
Liu Jixin Q：我们如何保证我们初始的空集是唯一的数字集合。
Chen A：我们把定义放在集合论ZFC的基础上就没有问题。
Liu Zhuanghu Q: 关于定义1我们是否应该写成递归定义的形式？
Chen A：可以的，不过我们这里力求定义的简洁。
Gao Ke Q: 这里我们需要多强的背景理论？
Chen A：NBG就足够了。
Wang Yanjing Q: 请问independent定义的直观是什么？
Chen A：就是类似于稠密的概念。
Liu Zhuanghu Q：我们是否可以将实数嵌入到surreal number中？
Chen A：我们只是定义了这样的数，在这样的数中会有类似于我们直观上的实数的对象。而且我们在定义的数上，可以进行类似实分析的操作。
Wang Yanjing Q: surreal number是否会有一些不符合我们直观的结果？
Chen A：surreal number会有导致一些gaps，这些gaps对于某些decision theory的问题可能会有些反直观的现象。
Wang Yanjing Q: 我们研究surreal number的动机是什么？
Chen A：首先我们已经看到了surreal number在decision theory 中会有非常好的应用，其他在物理领域，例如量子场论中也会有一定的应用，但是自从70年代被提出之后，至今surreal number相关的理论发展的并不充分。
Liu Zhuanghu Q：我们为什么不用非标准的实数？
Chen A：我们希望能够讨论haperreal的对象，但是我们希望我们可以更进一步使得我们能够用尽可能和实数接近的方法得到我们需要的结果，从这个角度看surreal number比NSR更有优势。
Zhou Beihai Q：surreal number是否揭示了数的什么本质？
Chen Q：这可能就是我们对数的一种不同定义。
Zhao Xiaoyu Q：在surreal number我们如何定义等于？
Chen Q： x=y iff x小于等于y且y小于等于x，这里表述可能不是太精确，但是直观是没有问题的。
（高 珂 整理）
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